Язык предикатов - часть 3
Аналогичное замечание справедливо и для двухместных предикатов.
Правила образования формул
- Если — -местный предикатный символ, а — термы, то выражение является формулой (атомарной).
- Если и — формулы, то выражения , , и являются формулами.
- Если — формула, а — переменная, то выражения , являются формулами.
Замечания
- В правиле формула называется областью действия соответствующего квантора, а все вхождения переменной
в атомарные подформулы формулы называются связанными.
- Переменная, имеющая вхождение в атомарную подформулу формулы , не находящуюся в области действия соответствующего квантора, называется свободной переменной формулы . Конечно, одна и та же переменная может иметь как связанные, так и свободные вхождения в формулу.
- Формула, не имеющая переменных со свободными вхождениями, называется предложением.
- Формулы, в которых имеются свободные вхождения переменных, трактуются как высказывательные формы, а предложения — как высказывания, истинностная оценка которых зависит от интерпретации входящих в них предикатных и функциональных символов в соответствии со смыслом логических связок и кванторов.
Пример.
Пусть нелогическая сигнатура состоит из трех символов , где — двухместный предикат, — одноместная функция, — двухместная функция, тогда выражение
очевидно, будет формулой. Поскольку в этой формуле нет свободных переменных, то она является предложением.
Рассмотрим следующую интерпретацию нашей сигнатуры. Пусть универсумом рассуждения будет множество точек плоскости, это означает, что значениями переменных являются точки. Далее, пусть
При такой интерпретации нелогических символов , приведенная выше формула есть утверждение о том, что середина отрезка симметрична середине отрезка с концами, симметричными точкам .
Очевидно, что это утверждение истинно.
Рис. 14.1.
Рассмотрим еще одну интерпретацию нашей сигнатуры. Пусть на этот раз универсумом рассуждения будет множество действительных чисел, исключая число :
Содержание Назад Вперед