Некоторые сведения из математической логики
Напомним кратко основную цепочку построений математической логики, используемых в логическом программировании. Известно, что любое предложение в логике предикатов логически равносильно предложению в предваренной нормальной форме, то есть в такой форме, когда в начале расположены все ее кванторы, за которыми расположена бескванторная ее часть. Рассмотрим пример такой формулы
|
(1) |
где — предикатные символы соответствующей арности; , — индивидные переменные.
Известно, что по любому предложению в предваренной нормальной форме можно построить так называемое сколемовское предложение . Для этого избавляются от кванторов существования следующим образом. Пусть ( — самое левое вхождение квантора существования в рассматриваемую формулу и перед ним расположены кванторов общности с переменными . Выбираем новый -местный функциональный символ , вхождение удаляем из формулы, а каждое вхождение переменной заменяем термом . Аналогичным образом избавляемся и от других кванторов существования. В результате получим сколемовскую формулу для исходной формулы .
Так, для формулы (1) соответствующая сколемовская формула будет иметь вид
|
(2) |
полученный из (1) заменой на , а
на . Заметим, что если бы было , то переменная заменялась бы на новую константу. Процесс получения сколемовской формулы по заданной формуле называется сколемизацией.
Известно, что сколемовская формула , соответствующая формуле , может быть логически неравносильна формуле , однако они либо обе выполнимы, либо обе невыполнимы (равносильность по выполнимости). Для иллюстрации этого факта рассмотрим простую формулу
которая интуитивно выражает существование функции , такой, что для любого элемента выполняется . При сколемизации она превращается в формулу
Равносильность по выполнимости формулы и соответствующей ей сколемовской формулы может быть использована следующим образом. Предположим, мы хотим доказать, что формула является логическим следствием формул и . Это сводится к доказательству невыполнимости формулы
или соответствующей ей сколемовской формулы, что технически осуществить оказывается проще.
Поскольку в сколемовской формуле используются только кванторы общности и все они расположены в начале формулы, их обычно опускают, подразумевая по умолчанию их наличие, а бескванторную часть представляют в нормальной конъюнктивной форме. Полученная таким образом формула называется клаузальной. В нашем случае формула (2) превращается в клаузальную формулу
(3) |
и
в соответствии с правилом резолюции выводится формула
Видно, что клаузальная форма хорошо приспособлена для применения правила резолюции. Детали этого применения в логике предикатов будут рассмотрены ниже.
Из математической логики известно, что не существует алгоритма, который по любому множеству формул-гипотез логики предикатов и еще одной формуле отвечал бы на вопрос, является ли
логическим следствием множества . Однако существует алгоритм, который в случае, когда логически следует из , строит доказательство этого факта с использованием правила резолюции, в противном случае алгоритм может работать бесконечно.
Различные версии языка Пролог базируются на использовании так называемых хорновских клаузальных формул. Хорновскими называются формулы, являющиеся дизъюнкциями атомарных формул и/или их отрицаний, причем атомарная часть без отрицания может быть в такой формуле не более чем одна. Рассмотрим пример такой формулы:
(4) |
(5) |
(6) |
изменив область действия квантора .
В Прологе принято формулы, аналогичные формуле (5), записывать в виде
(7) |
Формулу (7) Пролог воспримет как указание на то, что для доказательства истинности надо найти некоторое значение
и доказать, что истинны , , . Такие формулы принято называть правилами.
Если в хорновской клаузальной формуле отсутствуют атомарные части с отрицанием, то такая формула называется фактом. Если в хорновской клаузальной формуле отсутствует атомарная часть без отрицания, то такая формула называется запросом. Программой в Прологе называется набор фактов и правил.
По заданной программе и запросу система Пролог определяет, является ли запрос логическим следствием фактов и правил программы. При этом если в запросе имеются свободные переменные, то в процессе поиска доказательства эти переменные конкретизируются, то есть принимают конкретные значения, и при успешном его завершении эти конкретизированные значения являются ответом к поставленной задаче. Если же доказательство не будет найдено, то система ответит "no".
Поскольку в сколемовской формуле используются только кванторы общности и все они расположены в начале формулы, их обычно опускают, подразумевая по умолчанию их наличие, а бескванторную часть представляют в нормальной конъюнктивной форме. Полученная таким образом формула называется клаузальной. В нашем случае формула (2) превращается в клаузальную формулу
(3) |
и
в соответствии с правилом резолюции выводится формула
Видно, что клаузальная форма хорошо приспособлена для применения правила резолюции. Детали этого применения в логике предикатов будут рассмотрены ниже.
Из математической логики известно, что не существует алгоритма, который по любому множеству формул-гипотез логики предикатов и еще одной формуле отвечал бы на вопрос, является ли
логическим следствием множества . Однако существует алгоритм, который в случае, когда логически следует из , строит доказательство этого факта с использованием правила резолюции, в противном случае алгоритм может работать бесконечно.
Различные версии языка Пролог базируются на использовании так называемых хорновских клаузальных формул. Хорновскими называются формулы, являющиеся дизъюнкциями атомарных формул и/или их отрицаний, причем атомарная часть без отрицания может быть в такой формуле не более чем одна. Рассмотрим пример такой формулы:
(4) |
(5) |
(6) |
изменив область действия квантора .
В Прологе принято формулы, аналогичные формуле (5), записывать в виде
(7) |
Формулу (7) Пролог воспримет как указание на то, что для доказательства истинности надо найти некоторое значение
